Sucesión de fibonacci

La maravillosa sucesión de Fibonacci 

 

1. Generalidades sobre la sucesión de Fibonacci

1.1. La famosa sucesión de Fibonacci

¿Conoces la siguiente secuencia de números? Son los primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

¿Te sonaban verdad? No me extraña, la sucesión de Fibonacci está por todas partes y es, sin duda, una de las más famosas de todas las que se conocen. Incluso, puede decirse que tiene cierto glamur. Ha aparecido en varias películas y series. Pi, fe en el Caos, El código Da Vinci, Los crímenes de Oxford o Mr. Magorium y su tienda mágica son algunas muestras de su paso por la gran pantalla, y Frige, Mentes criminales o Abducidos, ejemplos de sus cameos televisivos. Por supuesto, también es una celebridad en Youtube, donde hay miles de vídeos dedicados a ella.

-Historia-

Afortunadamente, a diferencia de lo que ocurre con otras celebridades, la fama de la sucesión de Fibonacci no es fruto de una moda pasajera. Su notoriedad está más que justificada, pues los “medios de comunicación” llevan miles de años siguiéndola.

El número áureo, que como veremos luego tiene una estrecha relación con esta sucesión, ya era conocido por Egipcios, Asirios y Babilonios, aunque el primero en hacer un estudio formal del mismo fue Euclides, hacia el siglo III a. C. Y los primeros vestigios de la sucesión (como tal) aparecen en la India, a lo largo del primer milenio de la era común, donde los matemáticos hindúes la estudian en sus investigaciones sobre patrones rítmicos.

En Europa no se conoció hasta algunos siglos después, cuando el matemático Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, publica su Liber Abaci (1202), donde es presentada como solución al siguiente problema sobre la cría de conejos:

Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir.

Además de la sucesión de Fibonacci, el ilustre matemático de la Toscana introduce en occidente otros avances matemáticos tan importantes como el sistema de numeración indo-arábigo.

Después, con el paso de los siglos, fue estudiada por muchos otros matemáticos, como Kepler o Édouard Lucas. Este último es el responsable del descubrimiento de muchas de las propiedades de la sucesión de Fibonacci, de la fórmula para hallar su enésimo término y de bautizarla con el apodo en honor matemático italiano.

-Uso de la sucesión en la Naturaleza, la Ciencia y el Arte. - 

Ya sea directamente, o por su relación con el número áureo, la sucesión de Fibonacci está presente en múltiples actividades y facetas del mundo que nos rodea: en la naturaleza, la ciencia y el arte.

Por ejemplo, podemos encontrarla en las proporciones y estructura de muchos seres vivos o fenómenos naturales: nuestra fisonomía, las escamas de una piña, los girasoles, las hojas y las ramas, las conchas de moluscos, los huracanes, las galaxias, etc.

También se ha empleado conscientemente en actividades humanas como la ciencia o el arte:

• Tiene aplicaciones en las ciencias de la computación, en las matemáticas (obviamente) y en la teoría de juegos.

• Y aparece en las pirámides de Guiza, el Partenón, algunas obras pictóricas del renacimiento, la estructura formal de composiciones musicales…

Definición, regla de formación y término general

Definición 

La sucesión de Fibonacci es un tipo de sucesión recurrente de números naturales, que, como vimos en el artículo dedicado a estas, son aquellas cuyos términos se obtienen a partir del anterior o anteriores. Recordemos que también pertenecían a esta clase de sucesiones las progresiones aritméticas y las geométricas.

Sus primeros términos son los siguientes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … (podemos encontrarla también iniciada con el 0).

A diferencia de lo que ocurría en otras sucesiones, los términos de esta sucesión suelen notarse con la mayúscula de la letra efe acompañada del subíndice que indica su número de orden: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, etc.

2.2. Regla de formación

Observando con atención la secuencia de números anteriores, podremos caer en la cuenta de que todos sus términos, menos el primero y el segundo, se obtienen sumando los dos anteriores. De esta forma, tenemos que: 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5; y, así, hasta “el infinito y más allá”.

Termino General 

En un sentido amplio, el término general de una sucesión no es más que la expresión matemática de la regla de formación. Siguiendo este enfoque, podemos representar, sin problemas, el término general de la sucesión de Fibonacci de forma recurrente. Veamos.

A diferencia de lo que pasaba con las progresiones aritméticas y geométricas, el desarrollo de una fórmula que nos permita calcular sin problemas cualquier número de esta sucesión necesita de conocimientos matemáticos más avanzados que los tratados en este diccionario. Sin embargo, por si en algún momento necesitas usarla, más abajo tienes una de las fórmulas que hay para hacerlo, y aquí un enlace en el que te explican en sencillos pasos la manera de aplicarla.

La sucesión de Fibonacci y el número áureo 

La relación entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo fue descubierta Johannes Kepler, al que aludimos en el segundo apartado. Este matemático y astrónomo alemán observó que los cocientes resultantes al dividir cada uno de los términos por su anterior se iban aproximando al número áureo conforme mayores eran los valores de n. Lo vamos a ver a continuación.

El valor del número áureo es un número irracional representado por la siguiente expresión:

Ahora recordemos los primeros términos de nuestra sucesión:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

Como dijimos, la relación la podemos encontrar al efectuar las sucesivas divisiones de cada término entre su anterior. En la siguiente tabla mostramos los resultados algunas de las primeras divisiones.

Como vemos, los diferentes cocientes se van aproximando al número áureo. Es decir, cuando n tiende a infinito, el cociente entre un término de la sucesión de Fibonacci y el anterior es el número áureo.

4. Sucesiones similares

La sucesión de Fibonacci no es la única sucesión recurrente en cuya regla de formación intervienen más de un término. De hecho, podemos construir fácilmente muchas sucesiones recurrentes parecidas. El límite solo está en nuestra imaginación. Veamos algunas (entre paréntesis tienes la regla de formación).

7, 7, 7, 21, 35, 63, … (cada uno de los términos, para valores de n mayores que 3, se obtiene sumando los tres anteriores).

1/4, 1/3, 7/12, 11/12, 3/2, 29/12, … (a partir de n = 3, los términos son la suma de los dos que le preceden).

2, 2, 22, 23, 25, 28, … (después del tercer término, todos son el producto de sus dos anteriores).

Evidencia trabajo realizado respecto al tema de la sucesión de Fibonacci

Pequeña descripción simple de la serie de Fibonacci

No es muy difícil, pero si asombrante el entender la serie de Fibonacci pero primero se debe entender que es, esta se trata de una secuencia infinita de números naturales; a partir del 0 y el 1, se van sumando a pares, de manera que cada número es igual a la suma de sus dos anteriores, de manera que:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Esta es una serie que ha sido usado siempre desde su creación llegando hasta los artistas que las han empleado a lo largo de toda la historia de la humanidad.

Además de que esta serie, tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juego. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Puntaje de la App de Fibonacci 

Imagen que representa a la

Serie de Fibonacci

Imagen que representa a la

Serie de Fibonacci

Evidencia fotográfica del trabajo